7.6曲線和方程（2）求曲線的方程
●四川省成都石室中學(xué)蔣富揚(yáng)
教材《人教版全日制普通高中教科書（必修）第二冊（上）》
一、教材分析
1.教材背景
作為曲線內(nèi)容學(xué)習(xí)的開始，“曲線與方程”這一小節(jié)思想性較強(qiáng)，約需三課時，第一課時介紹曲線與方程的概念；第二課時講曲線方程的求法；第三課時側(cè)重對所求方程的檢驗(yàn).
本課為第二課時
主要內(nèi)容有：解析幾何與坐標(biāo)法；求曲線方程的方法（直譯法）、步驟及例題探求.
2.本課地位和作用
承前啟后，數(shù)形結(jié)合
曲線和方程，既是直線與方程的自然延伸，又是圓錐曲線學(xué)習(xí)的必備，是后面平面曲線學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，是解幾中承上啟下的關(guān)鍵章節(jié).
“曲線”與“方程”是點(diǎn)的軌跡的兩種表現(xiàn)形式.“曲線”是軌跡的幾何形式，“方程”是軌跡的代數(shù)形式；求曲線方程是用方程研究曲線的先導(dǎo)，是解析幾何所要解決的兩大類問題的首要問題.體現(xiàn)了坐標(biāo)法的本質(zhì)——代數(shù)化處理幾何問題，是數(shù)形結(jié)合的典范.
后繼性、可探究性
求曲線方程實(shí)質(zhì)上就是求曲線上任意一點(diǎn)（x,y）橫縱坐標(biāo)間的等量關(guān)系，但曲線軌跡常無法事先預(yù)知類型，通過多媒體演示可以生動展現(xiàn)運(yùn)動變化特點(diǎn)，但如何獲得曲線的方程呢？通過創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生興趣，充分發(fā)揮其主體地位的作用，學(xué)習(xí)過程具有較強(qiáng)的探究性.
同時，本課內(nèi)容又為后面的軌跡探求提供方法的準(zhǔn)備，并且以后還會繼續(xù)完善軌跡方程的求解方法.
數(shù)學(xué)建模與示范性作用
曲線的方程是解析幾何的核心.求曲線方程的過程類似于數(shù)學(xué)建模的過程，它貫穿于解析幾何的始終，通過本課例題與變式，要總結(jié)規(guī)律，掌握方法，為后面圓錐曲線等的軌跡探求提供示范.
數(shù)學(xué)的文化價值
解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑，也是近代數(shù)學(xué)崛起的兩大標(biāo)志之一，是較為完整和典型的重大數(shù)學(xué)創(chuàng)新史例.解析幾何創(chuàng)始人特別是笛卡兒的事跡和精神——對科學(xué)真理和方法的追求、質(zhì)疑的科學(xué)精神等都是富有啟發(fā)性和激勵性的教育材料.可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，條件允許時指導(dǎo)學(xué)生課后收集相關(guān)資料，通過分析、整理，寫出研究報告.
3.學(xué)情分析
我所授課班級的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，思維活躍，在剛剛學(xué)習(xí)了“曲線的方程和方程的曲線”后，學(xué)生對這種必須同時具備純粹性和完備性的概念有了初步的認(rèn)識，對用代數(shù)方法研究幾何問題的科學(xué)性、準(zhǔn)確性和優(yōu)越性等已有了初步了解，對具體（平面）圖形與方程間能否對應(yīng)、怎樣對應(yīng)的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了自然的求知欲望.
二、目標(biāo)分析
1.教學(xué)目標(biāo)
知識技能目標(biāo)
理解坐標(biāo)法的作用及意義.
掌握求曲線方程的一般方法和步驟，能根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系求曲線方程.
過程性目標(biāo)
通過學(xué)生積極參與，親身經(jīng)歷曲線方程的獲得過程，體驗(yàn)坐標(biāo)法在處理幾何問題中的優(yōu)越性，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
通過自主探索、合作交流，學(xué)生歷經(jīng)從“特殊——一般——特殊”的認(rèn)知模式，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).
通過層層深入，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力，深化對求曲線方程本質(zhì)的理解.
情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)
通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生間、師生間的相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步養(yǎng)成質(zhì)疑的科學(xué)精神.
展現(xiàn)人文數(shù)學(xué)精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值及其在在社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的重要作用.
2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：求曲線方程的方法、步驟
難點(diǎn)：幾何條件的代數(shù)化
依據(jù)：求曲線方程是解幾研究的兩大類問題之一，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，是高考解答題取材的源泉.主要包括兩種類型求曲線的方程：一是已知曲線形狀時常用待定系數(shù)法；二是動點(diǎn)軌跡方程探求，本課的重點(diǎn)主要是探索動點(diǎn)的曲線方程.
曲線與方程是貫穿平面解幾的知識，是解析幾何的核心.求曲線方程是幾何問題得以代數(shù)研究的先決，求曲線方程的過程類似數(shù)學(xué)建模的過程，是課堂上必須突破的難點(diǎn).
三、教學(xué)方法及教材處理
1.教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)法.
遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，通過學(xué)生主動探索、積極參與、共同交流與協(xié)作，在教師的引導(dǎo)和合作下，學(xué)生“跳一跳”就能摘得果實(shí)，于問題的分析和解決中實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)和發(fā)展，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)習(xí)過程成為心靈愉悅的主動認(rèn)知過程，使師生的生命活力在課堂上得到充分的發(fā)揮.
2.學(xué)法指導(dǎo)
學(xué)生學(xué)法：互相討論、探索發(fā)現(xiàn)
由于學(xué)生在嘗試問題解決的過程中常會在新舊知識聯(lián)系、策略選擇、思想方法運(yùn)用等方面遇到一定的困難，需要教師指導(dǎo).作為學(xué)生活動的組織者、引導(dǎo)者、參與者，教師要幫助學(xué)生重溫與問題解決有關(guān)的舊知，給予學(xué)生思考的時間和表達(dá)的機(jī)會，共同對（解題）過程進(jìn)行反思等，在師生（生生）互動中，給予學(xué)生啟發(fā)和鼓勵，在心理上、認(rèn)知上予以幫助.
這樣，在學(xué)法上確立的教法，能幫助學(xué)生更好地獲得完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生思維、能力等得到和諧發(fā)展.
3.設(shè)計理念：
求曲線方程就是將曲線上點(diǎn)的幾何表示形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示形式。在這轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生通過積極參與、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造，這也正是建構(gòu)主義理論的本質(zhì)要求；遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，尊重學(xué)生個體差異，立足教材，通過對例題的再創(chuàng)造，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則，讓不同層次的學(xué)生得到不同層度的發(fā)展；通過激發(fā)興趣，強(qiáng)調(diào)自主探索與合作交流，讓學(xué)生逐步地從學(xué)會走向會學(xué)，由被動走向主動，由課堂走向社會，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，也是當(dāng)前新課程所追求的基本理念.
四、教學(xué)過程（教學(xué)設(shè)計）
根據(jù)本課教學(xué)內(nèi)容幾何特性外化的特點(diǎn)，抓住形成軌跡的動點(diǎn)具備的幾何條件，運(yùn)用坐標(biāo)化的手段及等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想方法，突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn).本課的教學(xué)設(shè)計思路是：
創(chuàng)設(shè)情景——從感性的軌跡（圖形）認(rèn)識，到解決生活上的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，抓住學(xué)生迫切一試的認(rèn)知心理，自然引入坐標(biāo)法的意義及曲線方程的求法.
例題探求——例題一體現(xiàn)知識的承前啟后.通過例題一的呈現(xiàn)，學(xué)生借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)，自主探求獲得問題的求解，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生感受求曲線方程的含義及求解步驟；例題二及變式解決建系難點(diǎn)，建系的開放性，對學(xué)生是一種挑戰(zhàn)，也是一種創(chuàng)造；兩個例題由淺入深，循序漸進(jìn)，體現(xiàn)因材施教.至此，學(xué)生已能初步了解求曲線方程的一般方法和步驟了.
歸納步驟——學(xué)生親身經(jīng)歷求曲線方程的過程，讓學(xué)生歸納（用自己的語言）、表述求解的步驟，體現(xiàn)從“特殊——一般”認(rèn)知規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).
變式練習(xí)——通過對例題的變式，由學(xué)生求解、回答變式后的含義，深化對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解，初步體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步養(yǎng)成質(zhì)疑與反思的習(xí)慣.
反饋練習(xí)——利用學(xué)生探索而發(fā)展來的認(rèn)知水平，運(yùn)用獲得的知識解決情景創(chuàng)設(shè)中的實(shí)際問題，一方面可以考察學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識和能力；另一方面是學(xué)生思維的自然順應(yīng)，自然釋放，是“一般——特殊”的過程.全面完成教學(xué)目標(biāo).
人教版高中數(shù)學(xué)《曲線和方程（2）求曲線的方程》說課教案.rar