《點(diǎn)到直線的距離》說課教案
攀枝花市三中黃意南
一、教材分析：
1、地位與作用：解析幾何第一章主要研究的是點(diǎn)線、線線的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中以點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、線線位置關(guān)系為重點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是其中最重要的環(huán)節(jié)之一，它是解決其它解析幾何問題的基礎(chǔ)。本節(jié)是在研究了兩條直線的位置關(guān)系的判定方法的基礎(chǔ)上，研究?jī)蓷l平行線間距離的一個(gè)重要公式。推導(dǎo)此公式不僅完善了兩條直線的位置關(guān)系這一知識(shí)體系，而且也為將來用代數(shù)方法研究曲線的幾何性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。而更為重要的是：通過認(rèn)真設(shè)計(jì)這一節(jié)教學(xué)，能使學(xué)生在探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊(yùn)涵于公式推導(dǎo)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會(huì)利用化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)興趣和良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。
2、重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵：重點(diǎn)是“公式的推導(dǎo)和應(yīng)用”，難點(diǎn)是“公式的推導(dǎo)”，關(guān)鍵是“怎樣自然地想到利用坐標(biāo)系中的x軸或y軸構(gòu)造Rt△，從而推出公式”。對(duì)于這個(gè)問題，教材中的處理方法是：沒有說明原因直接作輔助線（呈現(xiàn)教材）。這樣做，無法展現(xiàn)為什么會(huì)想到要構(gòu)造Rt△這一最需要學(xué)生探索的過程，不利于學(xué)生完整地理解公式的推導(dǎo)和掌握與之相應(yīng)的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如果照本宣科，則不能擺脫在客觀上對(duì)學(xué)生進(jìn)行灌注式教學(xué)。事實(shí)上，為了真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)，讓學(xué)生真正地參與進(jìn)來，起關(guān)鍵作用的是設(shè)計(jì)出有利于學(xué)生參與教學(xué)的內(nèi)容組織形式。因此，我沒有像教材中那樣直接作輔助線，而是對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行剪裁、重組和鋪墊，構(gòu)建出在探索結(jié)論過程中側(cè)重于學(xué)生能力培養(yǎng)的一系列教學(xué)環(huán)節(jié)，采用將一般轉(zhuǎn)化到特殊的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)特殊的直觀圖形的觀察、研究，自己發(fā)現(xiàn)隱藏其中的Rt△，從而解出|PQ|。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步將特殊問題還原到一般，學(xué)生便十分自然地想在坐標(biāo)系中探尋含PQ的Rt△，找不到，自然想到構(gòu)造，此時(shí)再過P點(diǎn)作x軸或y軸的平行線就顯得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本設(shè)計(jì)力求以啟迪思維為核心，設(shè)計(jì)出能啟發(fā)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，從而突破難點(diǎn)的關(guān)鍵，推導(dǎo)出公式。
二、教學(xué)目標(biāo)：
1、認(rèn)知目標(biāo)：
（1）點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，并能用公式計(jì)算。
�。�2）領(lǐng)會(huì)滲透于公式推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想（如化歸思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想），掌握用化歸思想來研究數(shù)學(xué)問題的方法。
2、能力目標(biāo)：通過讓學(xué)生在實(shí)踐中探索、觀察、反思、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、思維能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的目的。
3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素資源，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。
三、學(xué)生情況分析：
學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)點(diǎn)距離、線線位置關(guān)系，初步掌握了“用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)”這一研究解析幾何問題的重要方法，并且學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，這就為構(gòu)造Rt△，利用三角形性質(zhì)以及同角公式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式做好了鋪墊。并且，高二的學(xué)生已經(jīng)基本能夠從特殊的情況中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而推廣為一般情況，關(guān)鍵是學(xué)生在這個(gè)方面的應(yīng)用意識(shí)還比較淡漠，所以本節(jié)課只要做好這種引導(dǎo)工作，學(xué)生是比較容易理解的。這也是本節(jié)課要突出的“從特殊到一般”的課堂設(shè)計(jì)的原因，能夠使學(xué)生充分地參與進(jìn)來，體會(huì)到成功的喜悅。
四、教學(xué)方法：
本節(jié)課的內(nèi)容實(shí)際上并不是難度很大，關(guān)鍵是推導(dǎo)公式的方法的選擇，一旦找準(zhǔn)推導(dǎo)方法、作出相應(yīng)的輔助線，接下來的推導(dǎo)過程就是比較容易完成的。所以
1、遵循“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是主體（學(xué)生）在頭腦中建構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種再創(chuàng)造行為”的理論，采取以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的”啟發(fā)式、提問式教學(xué)方法。
2、根據(jù)“教師應(yīng)尊重學(xué)生主體和主動(dòng)的精神，開發(fā)學(xué)生的智能，形成其健全個(gè)性”的原則，力求營造民主的教學(xué)氛圍，使學(xué)生或顯性（答問、板演等）或隱性（聆聽，苦思等）地參與全教學(xué)過程，學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的問題下，積極思考、動(dòng)手演練、步步深入，讓學(xué)生自己導(dǎo)出公式。
3、采用投影、計(jì)算機(jī)等教學(xué)手段，增大教學(xué)的容量和直觀性，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。
4、以反饋調(diào)控為手段，力求反饋的全面性（優(yōu)、中、差生）與時(shí)效性（及時(shí)、中肯）。
五、教學(xué)程序：
�、耪n題引入：復(fù)習(xí)如何判斷兩條直線的位置關(guān)系？如果兩直線相交，又如何求出交點(diǎn)的坐標(biāo)？這樣有意識(shí)地涉及兩直線垂直、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)，既幫助學(xué)生整理、復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，也讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中自己“發(fā)現(xiàn)”尚未解決的問題，使新授知識(shí)在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，自然地引出新問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生形成合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（3分鐘）
�、普n題解決：教學(xué)過程中，利用“從特殊到一般”的方法（由特殊直線到一般直線；由特殊點(diǎn)到一般的點(diǎn)），提出如下問題：
先研究點(diǎn)到特殊的直線（平行于x軸和y軸的直線）的距離；
然后對(duì)于一般的直線，先研究特殊的點(diǎn)（原點(diǎn)）到直線的距離（可以利用“等面積法”、“三角形相似的性質(zhì)”或“解直角三角形”三種思路求解），再將其解題方法推廣到一般的點(diǎn)，就會(huì)自然想到構(gòu)造Rt△進(jìn)行求解了。
逐步逼近目標(biāo)，在這過程中展示了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的思維過程。調(diào)動(dòng)學(xué)生自覺地、主動(dòng)地參與進(jìn)來，教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體作用都得以充分體現(xiàn)。在教學(xué)中只要抓住“構(gòu)造一個(gè)可用的三角形”這個(gè)關(guān)鍵，就能突破難點(diǎn)，易于學(xué)生的理解和掌握。（27分鐘）
�、抢}練習(xí)：推導(dǎo)出公式之后，通過例題講解和學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，進(jìn)一步鞏固公式的記憶和應(yīng)用。（12分鐘）
�、刃〗Y(jié)作業(yè)：師生互動(dòng)，共同總結(jié)公式的推導(dǎo)過程以及公式的特征和應(yīng)用，布置課后作業(yè)。（3分鐘）
六、教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)：
《點(diǎn)到直線的距離公式》是解決理論和實(shí)際問題的一個(gè)重要工具，這不僅是其有廣泛的應(yīng)用，而更重要的是公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中理應(yīng)予以重視。因而，在設(shè)計(jì)這節(jié)課的教學(xué)方案時(shí)，要力求暴露公式推導(dǎo)中的思維過程，突出整體觀念對(duì)思維過程的指導(dǎo)作用。但在以往的教學(xué)過程中遇到的最大困難是：思路自然的則運(yùn)算很繁，而運(yùn)算較簡(jiǎn)單的解法則思路又很不自然。這樣就造成了教學(xué)中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學(xué)生的思維得不到應(yīng)有的訓(xùn)練，學(xué)生的主體作用也不能充分體現(xiàn)出來。為避免這個(gè)問題，有必要很好地探討一下，“點(diǎn)到直線的距離公式”的教學(xué)如何更合理，怎樣把教學(xué)過程變成師生共同探索、發(fā)現(xiàn)公式的過程，怎樣使推導(dǎo)過程自然而簡(jiǎn)練。
本節(jié)課是“兩條直線的位置關(guān)系”的最后一個(gè)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)引入時(shí)，有意識(shí)地涉及兩直線垂直、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)，既幫助學(xué)生整理、復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，也讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中自己“發(fā)現(xiàn)”尚未解決的問題，使新授知識(shí)在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，自然地引出新問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生形成合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)過程中，逐步逼近目標(biāo)，在這過程中展示了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的思維過程。學(xué)生能夠自覺地、主動(dòng)地參與進(jìn)來，教師的主導(dǎo)作用、學(xué)生的主體作用都得以充分體現(xiàn)，經(jīng)常這樣做，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力必將逐步得到提高。在教學(xué)中只要抓住“構(gòu)造一個(gè)可用的三角形”這個(gè)關(guān)鍵，就能突破難點(diǎn)，還可以采用其他的方法推導(dǎo)“點(diǎn)到直線的距離”公式，易于學(xué)生的理解和掌握。
這堂課，既是一堂新課，也是實(shí)驗(yàn)課；既學(xué)習(xí)了新知識(shí)，也鍛煉了用從特殊到一般，再從一般到特殊的思維方法分析解決問題的能力，提高了學(xué)生使用現(xiàn)代化工具的動(dòng)手能力；也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)變化的美；也在學(xué)生個(gè)性情感中融入了創(chuàng)新的意識(shí)與膽量。