《一元二次方程根與系數(shù)的關系》說課稿
[教材分析]
中學階段我們研究的多項式函數(shù)中有二次函數(shù)，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內(nèi)容。一元二次方程有根與系數(shù)關系，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的密切關系，而根與系數(shù)還有更進一步的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學學科中具有極強的實用價值，本節(jié)內(nèi)容既是代數(shù)式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又蘊含有豐富的數(shù)學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎。
[學生分析]
進入了初二下半學期，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數(shù)的關系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學生，他們有著較強的認知力與求知欲，
基于以上思考，我在設計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。
[教學目標]
在學生探求一元二次方程根與系數(shù)關系的活動中，經(jīng)歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與系數(shù)的關系。
能利用一元二次方程根與系數(shù)的關系檢驗兩數(shù)是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數(shù)。
理解數(shù)學思想，體會代數(shù)論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。
[教學重難點]
發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系，包括知識從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過程
[教學過程]
(一)復習導入
請學生求解表格內(nèi)的方程，完成解法的交流以及求根公式的復習，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的關系，那么一元二次方程根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢?由此疑問，導入新課。
(二)探求新知
數(shù)學學科中由數(shù)到式的結構編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項系數(shù)為 1 的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之后將結果匯總展示，共同觀察與系數(shù)的聯(lián)系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發(fā)現(xiàn)這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數(shù)，而且每一組兩根和(積)都與系數(shù)有著密切的聯(lián)系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產(chǎn)生關注，經(jīng)歷了對二次項系數(shù)為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項系數(shù)的相反數(shù), 兩根積等于常數(shù)項�！睂τ谶@一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項系數(shù)非 1 的一元二次方程。學生的質(zhì)疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)的關系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積后產(chǎn)生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式著手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭并進，當前者通過不斷驗證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴格意義下，說明了此結論的正確性。對于論證中學生出現(xiàn)的問題，我們在第一時間內(nèi)揪錯指正，
在知識初探與再探后，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數(shù)的關系，
三、訓練感悟
我將之前從學生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據(jù)已有經(jīng)驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數(shù)的關系，不解方程檢驗兩數(shù)是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習，更明確了只有當兩數(shù)和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數(shù)據(jù)丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數(shù)。為了將材料修復，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經(jīng)驗，學生們會利用根與系數(shù)關系，不解方程，求出另一根及系數(shù)。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學生們在選擇了恰當?shù)姆椒ê�，修復了材料也鞏固了新知�?/P>
四、總結提升，
由學生回顧知識的發(fā)生發(fā)展及應用過程，以“我的收獲” 與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導領會數(shù)學的思想。我還會自豪的告訴他們，數(shù)學家們還發(fā)現(xiàn)了存在于一元n次方程中的根與系數(shù)的普遍關系，這一內(nèi)容將在高數(shù)中有所涉及，激勵奮進
五、分層作業(yè)，
[設計意圖]
現(xiàn)在的設計較之以往，有所繼承，有所變革。
1 研究啟動入口不同
過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數(shù)學后曾有學生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數(shù)的關系，而不是其它?”這種疑問的產(chǎn)生一定與過去設計指定了學生的活動過程有關，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數(shù)的研究更顯合理， 現(xiàn)在的設計中主要體現(xiàn)了由數(shù)到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進一步的探究。這種設計正是從數(shù)學內(nèi)部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數(shù)學本身上培養(yǎng)了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。
2探究部分兩步走
我將二次項系數(shù)為1，非 1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，分別放置與知識初探和再探兩個環(huán)節(jié)，這樣設計的原因有二：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到復雜，在這里，當a=1 時，易找規(guī)律，當 a ≠1后造成的認知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的完善。其實這一串， 由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規(guī)律，也是一種研究性學習的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識” 這一客觀世界認知論的基本規(guī)律。便是我如此設計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結果，優(yōu)選出對和積的研究。初探中二次項系數(shù)為 1 的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數(shù)的關系，提高了研究的效率。
3 再探新知放手走
我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉(zhuǎn)放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數(shù)據(jù)研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數(shù)論證的方法;當然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。
放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。
[尾聲]
但原學生們帶著對數(shù)學的興趣與喜愛，在學的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞臺上，不斷求索。多由學生所想來引導;多設角度空間去探究;多從細節(jié)處滲透數(shù)學思想，充分利用數(shù)學課堂來達成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。